易错点

对于AB = 0的解读¶

除了秩，一定别忘了还有解的方向。

B的列是A的解，若B != 0，那就代表着A存在非零解，根据克拉默法则|A| = 0。

对于二阶行列式快速求伴随和逆¶

“主互换，副取反”是用来求伴随矩阵（\(A^*\)）的口诀。要求逆矩阵（\(A^{-1}\)），还需要在这个伴随矩阵的基础上，除以原矩阵的行列式值 \(\vert{}A\vert{}\)。仅仅适用于元素是普通数字（标量）的二阶矩阵

设二阶矩阵 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，具体公式如下：

伴随矩阵 \(A^*\)

根据“主互换，副取反”，主对角线的 \(a\) 和 \(d\) 互换位置，副对角线的 \(b\) 和 \(c\) 改变符号：

\[A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]

逆矩阵 \(A^{-1}\)

利用公式 \(A^{-1} = \frac{1}{\vert{}A\vert{}} A^*\)，其中 \(\vert{}A\vert{} = ad - bc\) 且 \(\vert{}A\vert{} \neq 0\)：

\[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]

对于由矩阵构成的二阶矩阵，优先考虑三种办法：

AA* = |A|E试选项
求A^-1^，算A*
设\(M^* = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}\)，然后与M相乘，右边根据拉普拉斯算出行列式，找准0矩阵然后代选项

拉普拉斯：

主对角线方向（不改变符号）：

\[\begin{vmatrix} A & * \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ * & B \end{vmatrix} = \vert{}A\vert{}\vert{}B\vert{}\]

副对角线方向（必须乘 \((-1)^{mn}\)）：

\[\begin{vmatrix} O & A \\ B & * \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} * & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{m \times n} \vert{}A\vert{}\vert{}B\vert{}\]

避坑提醒： 副对角线分块的符号是 \((-1)^{m \times n}\)，指的是左下角和右上角两个方阵阶数的乘积，绝不是相加。

二次型常规两种方法都不好做¶

对于这类带有待定系数的二次型，求特征值不好求，凑也不好凑，考虑是否为乘积形式，化为y1y2然后再进行一次坐标变换(y1 = z1 - z2, y2 = z1 + z2, y3 = z3)

AB = C的解读¶

C的列可由A的列表示，C的行可由B的行表示

对于向量组的线性表出¶

P78定理3.7，多数向量由少数向量表出，则一定线性相关。对于他的推论向量组a（s个）线性无关，若向量组a可由b（t个）线性表出，则s <= t。

如何理解推论？

a都线性无关了，根据定理3.7，那就不可能s > t，一定s >= t。

或进行简单证明：

向量组a可由向量组b线性表出，则ra <= rb

又因为a线性无关，ra = s <= rb <= t，因此s <=t。

需要注意的是，向量组a不可由向量组b线性表出是推不出ra > rb的

设 \(a = (1, 0)^T\)，\(b = (0, 1)^T\)。 \(a\) 显然不能由 \(b\) 线性表出（x轴上的向量无法用y轴上的向量按比例放大缩小得到），但此时 \(r_a = 1\)，\(r_b = 1\)，\(r_a\) 并不大于 \(r_b\)。

对于|A + B^-1^|一类的题¶

由于|A + B|和（A + B）^-1^没有公式，行列式拆开的那个公式是一行或一列是加的形式。

所以通常有以下三种办法：

提取公因子（最常用）：

如果题目给了 \(A\) 或 \(B\) 的逆矩阵信息，尝试把用E = A^-1^A或B^-1^B。

例如：题目里给了AB可逆，且知道A^-1^ + B的行列式，求A + B^-1^的行列式，用E = A-1A或B-1B，然后提公因式

利用特征值：

如果 \(A\) 和 \(B\) 有某种关系（比如能同时相似对角化），可以考虑求出 \(A+B\) 的特征值 \(\lambda_i\)，那么 \(\vert{}A+B\vert{} = \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n\)。

构造特殊矩阵：

结合给定的等式（如 \(A^2 = A\), \(AB=O\) 等），通过因式分解凑出 \(A+B\)。

补充：可以直接拆的（放心用）：

转置：\((A+B)^T = A^T + B^T\)

矩阵的迹（Trace）：\(tr(A+B) = tr(A) + tr(B)\) （主对角线元素之和，本质也是普通加法）

实对称矩阵正交矩阵的性质¶

实对称矩阵的性质： \(A\) 是一个实对称矩阵（无论 \(a\) 取何值，都有 \(A^T = A\)）。实对称矩阵不仅一定可以相似对角化，而且一定可以被正交矩阵相似对角化。

\(Q\) 的列与特征向量的关系： 若 \(Q^T A Q\) 为对角阵，因为 \(Q\) 是正交矩阵，所以 \(Q^T = Q^{-1}\)，这就等价于 \(Q^{-1} A Q = \Lambda\)。将这个式子左乘 \(Q\)，得到 \(A Q = Q \Lambda\)。如果把 \(Q\) 按列分块写成 \((q_1, q_2, q_3)\)，并且对角阵 \(\Lambda\) 的对角线元素为 \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)，展开后就是 \(A q_i = \lambda_i q_i\)。这就证明了 \(Q\) 的每一列确实就是矩阵 \(A\) 的特征向量，并且它们构成了规范正交基。

对于AC - CA = B求C¶

其实就是设出C，带进去可以得到一个方程组，然后看是齐次还是非齐次求解即可

方程化为两个向量点积¶

设

\[x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \alpha= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \beta= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}\]

则

\[a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 = \alpha^T x = x^T\alpha\]

同理，

\[b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3 = \beta^T x = x^T\beta\]

因此

\[f(x_1,x_2,x_3) = 2(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3)^2 + (b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3)^2\]

可以写成

\[\boxed{ f=2(\alpha^T x)^2+(\beta^T x)^2 }\]

拉普拉斯处理分块矩阵¶

主三角分块：

\[\left| \begin{array}{cc} A & * \\ 0 & B \end{array} \right| =|A||B|\]

\[\left| \begin{array}{cc} A & 0 \\ * & B \end{array} \right| =|A||B|\]

副三角分块：

\[\left| \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & * \end{array} \right| =(-1)^{mn}|A||B|\]

\[\left| \begin{array}{cc} * & A \\ B & 0 \end{array} \right| =(-1)^{mn}|A||B|\]

其中 \(A\) 为 \(m\) 阶方阵，\(B\) 为 \(n\) 阶方阵。

若 \(m=n\)，则：

\[(-1)^{mn}=(-1)^n\] 对于没这么规范的行列式通常还可以进行行的交换或列的交换，别忘了负号。

特征值相同不一定两矩阵相似¶

相似矩阵判断： \[\boxed{\text{特征值相同不能推出相似；若二者都可相似对角化，且特征值相同，则二者相似。}}\] 因此需要推同一特征值的特征向量是否都线性无关。

A^*^A¶

若r(A) < n，则|A| = 0，A^^A = |A|E = 0，\(A^*(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = (0, 0, 0, 0)\)。也就意味着A的每个列都是A^^x = 0的解，然后根据r(A) < n，由n，1，0可知r(A^^)，也就知道了A^^x = 0的基础解系有几个无关的解向量。

二次型进行正交变换¶

当正交变换

\[x=Py\]

把实对称矩阵 \(A\) 对角化时，\(P\) 的列向量就是 \(A\) 的单位特征向量。

若

\[P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\]

且

\[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i\]

则

\[P^TAP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\]

因此：

\[\boxed{\text{列向量顺序 = 特征值顺序 = 标准形中系数顺序}}\]

也就是说，交换 \(P\) 的列向量顺序，就会交换标准形中对应系数的位置；某个列向量乘 \(-1\)，对应特征值不变。

爪形速求特征值¶

矩阵乘法与分块矩阵的秩¶

AB 的列向量均可由 A 的列向量线性表示，因此 r(A, AB) = r(A)。
BA 的列向量均可由 B 的列向量线性表示，因此 r(B, BA) = r(B)。
r(AB) ≤ min。
r(A, B) ≥ max，但不一定取等号。

向量组的等价¶

相似对角化与正交对角化¶

比较	普通相似对角化	正交对角化
矩阵要求	有 n 个线性无关的特征向量	实对称矩阵
特征向量	线性无关即可	两两正交且单位化
变换矩阵 P	可逆矩阵	正交矩阵
逆矩阵	一般求逆	P⁻¹ = Pᵀ

特征向量的线性无关性¶

不同特征值对应的特征向量必然线性无关。
同一特征值对应的不同特征向量不一定线性无关。
实对称矩阵中，不同特征值对应的特征向量必然正交。
一般矩阵的特征向量不要求正交、单位化。

相似对角化的判定¶

充要条件：n 阶矩阵有 n 个线性无关的特征向量。
充分不必要条件：n 阶矩阵有 n 个互不相同的特征值。
充要条件：每个特征值的几何重数等于代数重数。
代数重数：特征值作为特征多项式根的重数。
几何重数：n − r(λE − A)。

做题注意¶

普通相似对角化：特征向量只需线性无关，无须正交化、单位化。
正交对角化：选取两两正交的特征向量，并单位化。
构造 P 时：列向量顺序 = 特征值顺序 = 对角矩阵对角元顺序。

矩阵可逆性与相似变换¶

证明矩阵可逆¶

常用等价条件： - 列向量线性无关。 - 秩等于阶数。 - 行列式不为 0。 - Ax=0 只有零解。

破题：矩阵由已知向量构成 → 优先考虑列向量线性无关。

例：非零向量 α 不是 A 的特征向量 → α 与 Aα 线性无关。

求相似变换 P⁻¹AP¶

优先构造 AP=PB，避免直接求逆。

计算 AP，即 A 分别作用于 P 的各列。
将所得向量表示为 P 的列向量的线性组合。
按列排列组合系数，得到 B。

因此 P⁻¹AP=B（P 可逆）。

判断能否相似对角化¶

存在 n 个线性无关的特征向量 ⇔ 可对角化。
n 个互异特征值 ⇒ 可对角化。
相似矩阵的可对角化性相同。

破题思路¶

目标结论 → 等价条件 → 联系已知条件。

二次型的合同与变换矩阵¶

基本概念¶

diag(a,b,c)：主对角线元素为 a、b、c，其余为 0。
标准形：只有平方项。
规范形：平方项系数为 1、−1、0。
合同判定：同阶实对称矩阵的正、负惯性指数分别相同。

求合同变换矩阵¶

目标：x = Py，满足 PᵀAP = B。

先分别配方，化为同一个规范形：

f = [x₁−(x₂+x₃)/2]² + (3/4)(x₂−x₃)²

g = (y₁+y₂)² + (2y₃)²

对 f 令：

z₁ = x₁−(x₂+x₃)/2
z₂ = (√3/2)(x₂−x₃)
z₃ = x₃

对 g 令：

z₁ = y₁+y₂
z₂ = 2y₃
z₃ = y₂

注意上方z1 z2 z3的选取

共同规范形：f = g = z₁²+z₂²，即 D = diag(1,1,0)。

再组合变换矩阵：

x = Mz，z = Ny → P = MN
x = Mz，y = Nz → P = MN⁻¹

注意事项¶

化规范形时，非零系数变为 ±1。
补充变量保证变换可逆。
共同规范形的系数位置要对应。
矩阵乘法顺序由变量变换方向决定。

特征向量的线性组合¶

同一特征值¶

\[A\alpha=\lambda\alpha,\quad A\beta=\lambda\beta\]

\[A(k_1\alpha+k_2\beta)=\lambda(k_1\alpha+k_2\beta)\]

结论：同一特征值的特征向量，其非零线性组合仍是该特征值的特征向量。

不同特征值¶

不同特征值的特征向量，非零系数的线性组合不是特征向量。
若某个系数为零，且结果非零，则仍是特征向量。

注意：零向量不是特征向量。

向量组线性表示与齐次方程组解集¶

基本概念¶

概念	含义
A 的列空间	A 的列向量所有线性组合构成的空间
Ax = 0 的解空间	与 A 的所有行向量正交的向量 x
Aᵀx = 0 的解空间	与 A 的所有列向量正交的向量 x

注意：列空间与零空间不是同一个概念。

Ax = 0 中，x 是线性组合的系数向量，不是由 A 的列向量组合得到的向量。

线性表示与解集包含关系¶

列向量组线性表示：

若 A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示，则：

A 的列空间 ⊆ B 的列空间
存在矩阵 P，使 A = BP
r(A) ≤ r(B)
Bᵀx = 0 ⇒ Aᵀx = 0

行向量组线性表示：

若 A 的行向量均可由 B 的行向量线性表示，则：

A 的行空间 ⊆ B 的行空间
存在矩阵 P，使 A = PB
r(A) ≤ r(B)
Bx = 0 ⇒ Ax = 0

核心原理¶

若 A 的列空间包含于 B 的列空间：

B 能线性表示的向量范围更大。
与 B 的所有列向量正交，约束更强。
因此 Bᵀx = 0 的解空间反而更小。

向量空间包含关系与其正交补空间的包含关系相反。

易错点¶

r(A) ≤ r(B)，不能单独推出两个方程组的解集包含关系。
能由 A 的列向量线性表示，不等于满足 Ax = 0。
列向量组的表示关系对应转置方程组；行向量组的表示关系对应原方程组。