证明题

证明题

并不绝对

存在性证明题的通用思路

从结论倒推

证明目标	优先考虑	关键条件
f′(ξ) = 0	罗尔定理	两点函数值相等
f′(ξ) = 0	费马引理	内部极值点
f′(ξ) = 某个值	拉格朗日中值定理	两端函数值之差
f″(η) = 0	连续使用罗尔定理	两点导数值相等
f″(η) 满足不等式	二阶泰勒公式	选好展开点，消去一次项后放缩
积分型存在性结论	积分中值定理	将积分转化为函数值

根据已知条件寻找突破口

• 端点函数值：考虑罗尔定理、拉格朗日中值定理。
• 定积分条件：考虑积分中值定理、积分平均值、内部极值或构造辅助函数。
• 导数为零：考虑费马引理、罗尔定理，也可作为泰勒展开点消去一次项。
• 导数不等式：考虑拉格朗日中值定理、泰勒公式及放缩。

多问证明题的处理

先观察后续问题，再选择前一问的证明方法。

• 罗尔定理：得到驻点。
• 费马引理：不仅得到驻点，还可能获得极值处的函数值不等式。

优先选择能为后续问题提供额外信息的构造。

解题流程

看结论 → 倒推条件 → 利用已知构造 → 应用定理 → 放缩证明

复盘时重点思考：

1. 突破口是什么？
2. 为什么这样构造？
3. 构造出的点还能提供哪些信息？

核心：积累构造的动机，而不是记忆具体证明过程。

对于求证函数 > 0的问题

1. 常规思路是求导单调，大于或小于端点，然后证得。

2. 还有的题可以发现一阶导不恒大于或小于0，这时如果两端端点值都为0，考虑求二阶导通过凹凸来解决。