常用技巧
- (ln|x|) ‘ == 1 / x
- 留数法
- 皮亚诺：x→x0，极限近似，只在展开点附近管用 → 局部；
拉格朗日：区间上恒等式，任意距离都能定量估误差 → 整体。
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重根要求不仅这一点为零点，而且一阶导还要为0
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泰勒公式是可以反着用的，也就是用x0换x：
\[f(\text{终点}) = f(\text{起点}) + f'(\text{起点})(\text{终点} - \text{起点}) + \frac{f''(\xi)}{2!}(\text{终点} - \text{起点})^2\]
\[f(0) = f(x) + f'(x)(0 - x) + \frac{f''(\xi_1)}{2!}(0 - x)^2\]
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\[1 + x^3 = (1 + x)(x^2 - x + 1)\]
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\[1 - x^3 = (1 - x)(x^2 + x + 1)\]
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在极坐标系 \((r, \theta)\) 中，所有的角度 \(\theta\) 都是从一条固定的基础射 线开始测量的，这条射线被称为极轴。数学约定： 当我们将极坐标系放入直角坐标系时，习惯上严格规定将极轴与 \(x\) 轴的正半轴重合。对应结果： 因为 \(\theta\) 代表旋转的角度，所以当没有发生任何旋转时（即 \(\theta = 0\)），你所指的方向就是起点方向。因此，射线 \(\theta = 0\) 自然就对应着 \(x\) 轴的正半轴。
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部分分式分解
### 核心大前提（第 0 步）：必须是“真分式”
拆分前，必须检查分子多项式的最高次幂是否严格小于分母多项式的最高次幂。
- 如果是真分式（例如 \(\frac{x}{x^2+1}\)），直接开始拆分。
- 如果是假分式（例如 \(\frac{x^3}{x^2+1}\)），必须先做多项式长除法，将其化为一个“多项式 + 真分式”的形式，然后再对剩下的真分式进行拆分。
### 拆分的一般式与四大规则
确保是真分式后，我们将分母在实数范围内进行彻底因式分解。分母分解出来的因式只有两种基本形态：一次因式 \((ax+b)\) 和不可约二次因式 \((ax^2+bx+c)\)（即 \(\Delta < 0\) 的二次式）。
根据这两种形态及其是否重复，拆分规则分为以下四种情况：
#### 规则 1：不重复的一次因式（最简单）
如果分母包含一个独立的一次因式 \((ax+b)\)，那么在拆分的一般式中，它对应一项。
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拆分形式：分子设为一个常数。
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示例：对于分母里的 \((x-2)\)，拆出：
\[\frac{A}{x-2}\]
#### 规则 2：重复的一次因式（如前一个问题）
如果分母包含一个 \(k\) 次幂的重复一次因式 \((ax+b)^k\)，必须将其从 \(1\) 次幂到 \(k\) 次幂的所有情况都列出来。
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拆分形式：每一项的分子都是一个常数。
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示例：对于分母里的 \((x+1)^3\)，拆出：
\[\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x+1)^3}\]
#### 规则 3：不重复的不可约二次因式
如果分母包含一个无法再分解的二次因式 \((ax^2+bx+c)\)。
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拆分形式：为了保证不漏解，它的分子必须设为一次多项式（即降一次）。
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示例：对于分母里的 \((x^2+x+1)\)，拆出：
\[\frac{Ax+B}{x^2+x+1}\]
#### 规则 4：重复的不可约二次因式
如果分母包含一个 \(k\) 次幂的不可约二次因式 \((ax^2+bx+c)^k\)，和规则 2 类似，必须从 \(1\) 次幂到 \(k\) 次幂全部列出。
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拆分形式：每一项的分子都是一个一次多项式。
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示例：对于分母里的 \((x^2+1)^2\)，拆出：
\[\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}\]
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定积分定义求极限的常见形式
对于区间 \([0, 1]\) 的 \(n\) 等分，\(\Delta x = \frac{1}{n}\)，以下三种求和形式的极限均等于 \(\int_0^1 f(x)dx\)：
1. 右端点形式（最常用）
\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x)dx\]
说明：取小区间 \([\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]\) 的右端点。
2. 左端点形式
\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i-1}{n}\right) = \int_0^1 f(x)dx\]
说明：取小区间 \([\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]\) 的左端点。
3. 中点形式
\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{2i-1}{2n}\right) = \int_0^1 f(x)dx\]
说明：取小区间 \([\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}]\) 的中点。
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\[\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
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（分部也能算，但是怕计算出错）
\[\int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\sin bx)' \\ e^{ax} & \sin bx \end{vmatrix} + C = \frac{e^{ax}(a \sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2} + C\]
\[\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\cos bx)' \\ e^{ax} & \cos bx \end{vmatrix} + C = \frac{e^{ax}(a \cos bx + b \sin bx)}{a^2 + b^2} + C\]
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海伦公式（三角形）
\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}\]