笔记

极限

1. 若x在x0处极限存在，可以推出f(x)在x0的某去心邻域是有定义的。反之不对，比如sin(1 / x)

因为要求在这个去心邻域内|f(x) - A| < ε

1. 在求复合函数极限时要小心

1. 形如此类，可以通过提出一个x^2^来快速解决。

1. 对于幂指函数:f (x)^g(x)^，通常要求底数f (x) > 0，若底数是负的，则是没有意义的，没有定义，极限不存在。

若x -> 正无穷或0^+^是可以的，并且上面用红笔标注的两个极限是相等的且等于1。

1. 在处理 0 * 无穷时，如果把哪个放到分母都不好处理，就把趋向0的放到分母，再运用等价代换。
2. 在对数里没有结论是可以直接用等价代换的

比如上图，无法直接在ln中用等价代换

1. 若 f^(n)^(x0) 存在：

只能推出：f^(n−1)^(x) 在 x0 连续，且 f(n−1)(x) 在整个邻域处处有定义（用来算极限）；

但不能推出f^(n−1)^(x) 在邻域内其它点可导。

只有「邻域 n 阶可导」，才能保证每一点都有 n 阶导。

1. 对于

我们可以这么理解：

从左推右：我们肯定能找到一个N，当x > N 后，函数极限存在，则x > N后的这部分是有界的，那么我取[a, N]这个闭区间，闭区间上连续必有界，两段都有界，整体有界。

从右推左：sinx，显然不成立，有界 + 单调 ⇒ 极限存在（单调有界定理）

1. A≥B （极限） ⇏ f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) （局部），这是因为

那能推出什么？

结论（由极限 A >= B 推导）：

• 能推出：对任意小的正数 ε > 0，在 x_0 的去心邻域内，必定有： f(x) > g(x) - ε
• 换句话说：f(x) 不会在局部“远远落后”于 g(x)。