笔记

函数

1. f ‘ (x₀) > 0推不出在x0的一个邻域内严格单调增，多小的邻域都不行。

那f ‘ (x₀) > 能推出什么？

1. 若f ‘ (x₀) > 0 可以推出 左低右高，但是左边区域内不保证单调增；f ‘ (x₀) < 0同理推出，左高右低。

证明：

注意！！！函数的保号性只是针对一个！！！去心邻域！！！

因此，若根据极限保号性得出在x0的一个去心邻域内f ‘ (x) > 0，是无法得出在x0的某邻域内是单调递增的。这是因为x = x0处f(x0)是不确定的，可以任取，如下图。但若是加上了在x0处连续这个条件是可以证明的，因为这样就知道了x0处左右极限是相等的，没有发生跳跃。

1. 若在x0点的某邻域内f(x)可导，导函数在x0连续，且f ‘(x0) != 0，则f(x)在x0的该邻域内严格单调

证明：导函数的介值性：设函数 f(x) 在 [a,b] 上可导（端点只要求单侧可导：f₊′(a)，f₋′(b) 存在），若 k 介于 f′(a) 与 f′(b) 之间，则 ∃ξ∈(a,b)，使得：f′(ξ)=k

我们先证推论：设f(x)在区间上可导，且f₊′(a) * f₋′(b) < 0, 则∃ξ∈(a,b),使f ‘(ξ) = 0。

证明：

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原证明:

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1. 奇函数在0点的泰勒展开偶数阶导数为0，偶函数在0点的泰勒展开奇数阶导数为0

例如：

1. 严格单调增加充要条件

前提：\(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导 \[f(x)\text{ 在 }I\text{ 上严格单调增加} \iff \big(\forall x\in I,\ f'(x)\ge0\big)\text{，且 }f'(x)\text{ 在 }I\text{ 的任意子区间上都不恒等于 }0\]

• 邻域内每个点的导数值都大于0是可以推出单调增加的；
• 邻域内每个点的导数值都大于等于0是无法推出单调增加的；
• 邻域内每个点导数值大于等于0，且只有有限个点的导数值为0并且这些点没有凑在一起，可以推出单调增加；
• 单调增加可以推出邻域内所有点的导数值大于等于0，并且可以有无穷个孤立的导数值为0的点；推不出邻域内每个点导数值大于0。