笔记

1. 单调

2. 导数判定法（核心工具）

   • 若在区间上 f'(x) ≥ 0 恒成立，则 f(x) 在该区间单调不减（非严格）。

   • 若在区间上 f'(x) > 0 恒成立，则 f(x) 在该区间严格单调增加。

   • 若 f'(x) ≥ 0，且等号只在孤立点成立（不形成任何连续区间），则 f(x) 仍严格单调增加。

3. 严格单调增加的充要条件

   • f'(x) ≥ 0 恒成立，且 f'(x) 不恒等于 0 于任何子区间。
   • 等价说法：导数为 0 的点可以有无穷多个，但必须是离散的、孤立的，不能包含任何小区间。

   • 孤立零点不影响严格单调性的经典例证

   • f(x) = x³：f'(x) = 3x² ≥ 0，仅在 x=0 处为 0，但 f(x) 在 R 上严格单调增加。

   • f(x) = x + sin x：f'(x) = 1 + cos x ≥ 0，零点为 x = (2k+1)π（无穷多个孤立点），但 f(x) 在 R 上仍严格单调增加。