笔记

1. 罗尔定理的推论：

证明：反证法

假设 f(x)=0 在 I 上有 n+1 个不同根 x1<x2<⋯<xn+1。

由罗尔定理：

f(x) 在相邻根间各存在一点使 f′(x)=0⟹f′(x)=0 至少 n 个根；

反复用罗尔定理，递推得 f(n)(x)=0 在 I 内至少存在 1 个根。

与条件 ∀x∈I, f(n)(x)\=0 矛盾。

故假设不成立，f(x)=0 在 I 上至多 n 个实根。