多元函数微分学
📌 微分方程“绝对值去不去”防坑指南¶
在解一阶线性常微分方程遇到对数 \(\ln\) 时，到底要不要带绝对值？记住一个核心原则：看它是用来“乘两边”的，还是用来“加减求和”的。
🟢 情况一：可以直接扔掉绝对值（全局乘法关系）¶
【什么时候】 在算“积分因子”的时候（也就是那个为了凑全微分，用来乘在等式左右两边的辅助工具 \(\mu(x)\)）。
【大白话解释】
- 这个东西算出来，是为了在等式左边和右边同时乘上去的。
- 既然是两边同时乘，如果里面藏了个负号，等式左边多个负号，右边也多个负号，两边一约，负号直接就抵消没了！
- 结论： 既然带不带正负号都不影响等式成立，那为了图省事，算这种“工具人”的时候直接忽略绝对值，全当正数算。
🔴 情况二：打死也不能去绝对值（局部加减关系）¶
【什么时候】 在算最后那个大括号里的通解，或者求具体函数表达式的时候（比如这道题里的 \(\int \frac{u}{(u-1)^2} du\)）。
【大白话解释】
- 这里的项是跟其他东西（比如常数 \(C\) 或其他分数）用加号或减号连在一起的。
- 加减法里的正负号是没法凭空抵消的！如果你强行把绝对值拆了（比如把 \(\ln\vert{}u-1\vert{}\) 直接写成 \(\ln(u-1)\)），一旦题目给的条件是 \(u=0\)，对数里面就变成了 \(\ln(-1)\)，这玩意儿直接就没意义了，算都算不下去。
- 结论： 只要它是跟别人“加减”连在一起的本体，绝对值就当个“护身符”死死戴着，直到你把初始条件（比如 \(x=0, y=1\)）代进去，确定了里面到底是正还是负，才能摘下来。
💡 考场一句话口诀：
“两边同乘的工具，绝对值放心扔；加减相连的本体，绝对值必须留。”